De Poissonverdeling toepassen op voetbalscores

Leg vast welke doelpunten je telt

Noem X het aantal doelpunten van de thuisploeg en Y het aantal van de bezoekers. Kies eenzelfde tijdsvenster, bijvoorbeeld de gewone speeltijd inclusief toegevoegde tijd, maar zonder verlenging en strafschoppenreeks. Een administratieve uitslag moet apart herkenbaar blijven. De parameters λ en μ zijn de conditionele gemiddelden van het model voor deze wedstrijd. Ze zijn niet vanzelf gelijk aan het gemiddelde aantal doelpunten dat beide ploegen in hun vijf vorige wedstrijden maakten. Het tegenstanderniveau en de speelplaats kunnen verschillen.

De formule en haar aannames lezen

Voor een geheel getal k vanaf nul geldt P(X = k) = exp(−λ) × λᵏ / k!. De faculteit k! is het product van de gehele getallen van 1 tot en met k; 0! is gelijk aan 1. In een Poissonverdeling zijn gemiddelde en variantie conditioneel gelijk. Dat is een aanname van het model, geen algemene wet van het voetbal. Bij λ gelijk aan nul ligt alle kans op nul doelpunten. Een programma moet dat theoretische grensgeval correct behandelen.

Rekenen met twee fictieve ploegen

Neem λ = 1,4 en μ = 1,1. De kans op twee thuisdoelpunten is ongeveer 24,17 % en de kans op één uitdoelpunt ongeveer 36,62 %. Als beide aantallen conditioneel onafhankelijk zijn, wordt de kans op 2–1 ongeveer 8,85 %. Door in de volledige matrix de vakken X > Y, X = Y en X < Y op te tellen, krijg je ongeveer 43,80 %, 26,63 % en 29,56 %. Kleine verschillen met 100 % in de getoonde som kunnen ontstaan doordat de percentages zijn afgerond.

Aanvalssterkte en verdediging schatten

Een eenvoudige opzet vermenigvuldigt het thuisgemiddelde van de competitie met een relatieve aanvalssterkte en een relatieve defensieve zwakte. Wanneer ploegen geen vergelijkbaar programma speelden, is een gezamenlijke modelschatting zinvoller. Nieuwe promovendi en zeer korte reeksen vragen extra voorzichtigheid: twee wedstrijden mogen niet zomaar een extreme sterkte opleveren. Poissonregressie en wetenschappelijke modellen van voetbalscores bieden een kader om parameters te schatten. Achteraf voor elke wedstrijd een andere factor kiezen is geen eerlijke toets van het model.

De matrix en afhankelijkheid controleren

Een tabel die stopt bij vier doelpunten bevat niet alle mogelijke scores. Ook hogere aantallen behouden kansmassa. Verhoog de grens tot het ontbrekende deel klein genoeg is voor de toepassing, of toon een afzonderlijke restcategorie. Een te kleine matrix stilzwijgend herschalen verandert de vraag. Bovendien kan onafhankelijkheid lage scores of tactische reacties op een doelpunt onvoldoende beschrijven. Een correctie voor afhankelijkheid moet worden geschat en op nieuwe wedstrijden getest. Eén bekende wedstrijd beter verklaren is daarvoor geen voldoende bewijs.

Vergelijken met een eenvoudige uitgangsmeting

Beoordeel de kansen op wedstrijden die later vallen dan de trainingsperiode. Vergelijk het model met gewone competitiefrequenties en bekijk de uitkomsten afzonderlijk per seizoen. Een ingewikkelde aanpak moet een vooraf gekozen foutmaat verbeteren, niet alleen een overtuigend verhaal geven bij een paar verrassingen. Noteer ook de wedstrijden waarvoor te weinig invoer bestaat. Bewaar bij de Pro League het seizoen en de competitiefase, zodat veranderde formats niet ongemerkt worden samengevoegd tot één schijnbaar vergelijkbare reeks.

Praktische controlelijst

Reken eerst de vakken 0–0, 1–0 en 0–1 afzonderlijk na. Daarmee kun je ontdekken of de thuis- en uitparameter zijn verwisseld. Controleer vervolgens de som van de matrix voordat je thuiswinst, gelijkspel en uitwinst groepeert. Een nette tabel kan nog steeds kansmassa missen bij hogere scores. De controle omvat daarom ook uitkomsten die niet in de korte uitlegtafel worden getoond.

1. Bepaal speeltijd en behandeling van administratieve uitslagen.
2. Schat parameters uitsluitend met eerder beschikbare informatie.
3. Bereken alle vakken met volledige precisie vóór het afronden.
4. Meet hoeveel kans buiten de weergegeven matrix overblijft.
5. Toets het model op een latere periode die apart is gehouden.

Een tweede lezer moet met dezelfde invoer dezelfde uitkomsten kunnen terugvinden, zonder jouw conclusie vooraf te kennen. Bewaar ook de uitgesloten rijen en de reden voor iedere uitsluiting. Zo blijft duidelijk waarom het aantal daadwerkelijk onderzochte wedstrijden kleiner kan zijn dan het aantal wedstrijden op de kalender.

Een volledige matrix achter de weergave bewaren

De tabel van nul tot vier doelpunten is een leesbare selectie. Een programma kan beide assen uitbreiden totdat de weggelaten kans onder een vooraf gekozen tolerantie ligt. Bewaar die tolerantie, de bereikte bovengrens en de werkelijke som. Alleen de zichtbare vakken opnieuw tot één laten optellen betekent dat je conditioneert op het ontbreken van hogere scores. Dat is een andere verdeling dan waarmee je begon. Een afgeronde som die honderd procent lijkt, bewijst dus niet dat de oorspronkelijke kansmassa volledig werd meegenomen in de berekening.

Bewaar de geschatte parameters apart van de regel die de twee doelpuntentotalen met elkaar verbindt. Het vermenigvuldigen van marginale kansen veronderstelt hier onafhankelijkheid. Voeg je een correctie voor lage scores of een andere afhankelijkheidsstructuur toe, vermeld dan naam, parameters en normalisatie. Beoordeel de verandering daarna op een latere periode. Een correctie die een paar al bekende uitslagen beter beschrijft, toont nog geen algemene verbetering. Ook de oorspronkelijke eenvoudige versie moet beschikbaar blijven als vergelijking voor dezelfde wedstrijden en dezelfde foutmaat.

Bronnen en controle

• Poisson distribution: probability mass function — SciPy — 2026-10-23
• Dixon en Coles, 1997: statistisch model van voetbalscores — Journal of the Royal Statistical Society, Series C — 2026-10-23
• TimeSeriesSplit — scikit-learn — 2026-10-23